最近学日语有点上头了，见谅见谅~

话不多说，开始继续更新啦！

笑死，这篇专栏草稿早就写好了，但是一直没完成，一直拖到了这几天……

【资料图】

日语准备考个级来着，所以这边也就……懒了（）

不管怎么说，进度还算顺利，数学期望已经更新完了~那么接下来呢，我们就要来研究其他对于随机变量而言比较重要的数字特征啦！

今天我们要来了解的是——

Chapter  Two  随机变量及其分布

  随机变量的方差与标准差

我们最初在小学阶段就接触过方差的概念，用以描述统计结果偏离平均值的程度。如果方差大，就说明结果不稳定，偏离平均值大；反之则小。而标准差最初是中学阶段才开始接触，当时我们对其的了解是“方差的算术平方根”，与方差的作用一样，描述统计结果的波动情况。

那么，现在，就我们目前的学习阶段而言，方差是否仍然具有这样的作用和特点呢？其求算方法和定义是否还与我们之前了解的相差无几呢？

答案是肯定的。我们定义：

若随机变量的数学期望存在，则称的数学期望：

为随机变量X的方差，记为：

（不同教材当中有不同的记法，以后我们采用第二种记法~）

并称方差的算术平方根为随机变量的标准差，记为。

接下来，我们按例要讨论一下方差和标准差的性质。这里要注意的是，在以下讨论当中，我们总是假设所需要的和提到的数学期望都是存在的。

首先，依据定义，我们知道方差的数值一定都是非负数。同时，利用数学期望的性质，我们能够推导出：

这是方差最常使用的计算公式，它表明，任何随机变量X的方差都是的数学期望减去X的数学期望的平方。

同时，基于定义，我们又能够得到：

（1）

（2）

最后，我们来介绍一个对于概率论而言十分重要的不等式——Chebyshev不等式。在之后的大数定律和中心极限定理部分，我们会深刻认识到它的重要作用。

我们上面提到了，方差是用来描述数据波动情况的数字特征。那么，我们自然想到，方差到底是如何具体体现它的这一功能的呢？

想要弄清楚这一点，我们就得考虑事件。这个事件的实际含义是，随机变量X偏离数学期望E(X)的偏差大于数值ε。我们称该事件为大偏差事件，简称大偏差。

按照我们的基本想法，所谓波动大，一个是ε大；换句话说，就是随机变量与数学期望的数值差的绝对值的下界要大。另一方面，如果我们想要衡量波动到底大到什么程度，就要看大偏差的概率。很显然，如果大偏差出现的概率很小，那么总体数据的波动情况也并不剧烈。

我们以离散型随机变量为例，考虑大偏差的概率与方差之间的联系。

按照定义，方差应该等于：

对于连续性随机变量，证明也类似。

这就是Chebyshev不等式。它的含义是，大偏差发生的概率的上界与随机变量的方差成正比，因此方差越大，大偏差出现的概率也越大。

基于Chebyshev不等式，我们可以说明以下事实：

若随机变量X的方差存在，则其值为0的充要条件为X几乎处处为某个常数a，即P(X=a)=1。

我们以离散型随机变量为例说明充分性，对于连续型随机变量而言利用Lebesgue定理就可以直接说明。

对于离散型随机变量X，其方差为：

因为其几乎处处为某个常数a，所以有：

（对于连续型随机变量而言，由于其定义域是一个不可数集，因此我们可以很自然地使用Lebesgue测度的语言去定义和叙述“几乎处处”这样的描述。但是，对于离散型随机变量而言，它的样本空间为一个可数集，受限于可数集的特殊性，我们很难定义一个良的测度，去描述什么是“几乎处处”。因此，这里我们只能给予一定的理解，给出我们认为的对于离散型随机变量的“几乎处处”的条件。）

至于必要性，从待证分析，若要几乎处处等于某一常数a（实际上就是数学期望E(X)），那么就应该有：

即要证明：

由Chebyshev不等式，我们得到：

这样，我们就证明了必要性，也就证明了结论。

理论上讲，这一节的内容到这里就该结束了……但是东西太少了感觉大家会看的不过瘾（有水专栏的嫌疑……），所以，我准备把后面的有关内容挪到这里来给大家介绍一下~之后我们再恢复正常的顺序和内容~

Chapter  Two  随机变量及其分布

  分布的其他特征数

  k阶矩

设X为随机变量，k为正整数。如果以下数学期望：

都存在，则称为X的k阶原点矩；称为X的k阶中心矩。

通过这个定义，我们可以直接说，X的数学期望就是它的一阶原点矩，而其方差就是它的二阶中心矩。我们还能知道，X的一阶中心矩就是0。

对于矩，我们有一个基本性质：

如果随机变量X的k阶矩存在，那么它的所有低于k阶的矩都存在。

（命题1；只要考虑到即可。）

对于中心矩，我们通过直接的计算，利用数学期望的性质，能够得到：

这就是中心矩与原点矩之间的联系。

矩与数学期望、方差一样，都是随机变量的十分重要的数字特征。相较于我们接下来介绍的其他数字特征，矩的重要性更胜一筹，希望大家努力掌握！

  分位数

很多时候，我们所面临的概率问题，最后多可能会归结为求解方程：

的最大值解。这个数字的意义是某种分布下的随机变量X的累计概率（也即分布函数）小于p时，X的最大取值，称为下（侧）p分位数。

这个数字特征的作用是，它可以用来准确描述累计概率为p时X的位置。从而，我们可以看出随机变量的实际分布趋势。

我们最先接触到也是最常接触到的一个分位数，就是中位数。按照我们对分位数的定义以及对中位数的理解，不难得到，中位数实际上就是下分位数。

我们在小学阶段就接触过了中位数的概念，与平均数的作用不同，它表征的是一组数据（或者是一个变量）的中间位置，从而能够告诉我们这组数据的水平是什么样的。

举个例子，如果我们说一个班级某次考试的平均成绩是90分，那么我们只能知道这个班级有一些高于90分的同学，还有一些低于90分。但是，如果我们说这个班级成绩的中位数是90分，那么我们就可以说，这个班级至少有一半的同学成绩高于90分。

这就是中位数的作用。其他分位数也是如此。

其他的系数应用场合较少，我们在此略过~

思考：

证明命题1；

试计算：

（1）设随机变量X的分布函数为：

求Var(X)；

（2）设随机变量X的概率密度函数为：

求Var(3X+2)；

（3）设随机变量X的分布函数为：

求E(X)和Var(X)；

证明：

（1）对任意常数c≠E(X)，有：

（2）设随机变量X在[a,b]上取值，则：

（3）设随机变量X取值为：

对应的概率分别为：

则：

（4）设g(x)为随机变量X取值集合上的非负不减函数，且E[g(X)]存在，则：

（5）设X为非负随机变量，a＞0。若存在，则：

最後の最後に、ありがとうございました！